Instabilités dynamiques et transport chaotique

Mécanique
Modélisation mathématique des systèmes complexes

– Savoir appliquer les notions abordées dans le cours de « Modélisation mathématique de
systèmes complexes » à des exemples de systèmes dynamiques issus de la mécanique des
fluides et des solides.
– Connaître le concept d’instabilité, identifier son apparition à travers plusieurs applications.
– Connaître les propriétés d’un système hamiltonien, identifier les points critiques dans l’espace des phases, appréhender le chaos déterministe dans un système hamiltonien, appréhender le transport dans un système chaotique.

Partant des équations générales de la mécanique des milieux continus (MMC, 1A), on établit les équations du mouvement du système considéré, et on discrétise en espace pour revenir à un système dynamique, généralement de petite dimension. On décrit les instabilités et leurs conséquences en utilisant les notions de base vues dans le cours « Modélisation mathématique de systèmes complexes».

Quelques exemples issus de la mécanique des solides (16 h)

– Effondrement d’une structure par flambement.
– Crissement d’un disque de frein ou d’embrayage.
– Auto-oscillations dans les instruments de musiques (cordes frottées, vents, cuivres).
– Instabilité aéroélastique d’une aile, d’un pont ; instabilité au sol d’un hélicoptère.

Quelques exemples issus de la mécanique des fluides (22 h)

On étudie le comportement d’un système hamiltonien chaotique et les phénomènes de transport. La notion de transport est illustrée par des applications numériques exploitant l’analogie entre les systèmes hamiltoniens et les fluides incompressibles.
– Fluides neutres : dynamique et mélange dans des fluides
– Plasmas de fusion (dynamique et chaos des lignes magnétiques, diffusion de particules par
dérive ExB).

Maîtrise de la complexité et des systèmes.
L’UE permet de développer les outils théoriques nécessaires à la compréhension des instabilités des systèmes chaotiques. Elle contribue à permettre aux élèves d’appréhender la richesse de comportements d’un système dynamique, à leur apporter les outils pour les décrire à travers des applications issues de la mécanique.

– CC1 : Instabilités dynamiques dans les milieux continus (TP), 50 %
– CC2 : Transport chaotique et stratégies de contrôle : applications aux fluides (TP), 25 %
– DS1 : Transport chaotique, 25 %

Polycopié de cours.

• Guido Ciraolo (CEA)
• Bruno Cochelin
• Frédéric Schwander