Mathématique numérique et simulation

MAT1A du programme ingénieur de Centrale Méditerranée

ou

Cours de niveau Licence en Probabilités (L2/L3), cours de niveau Licence en Analyse Appliquées/Analyse Numérique (équations aux dérivées partielles). 

Il est essentiel pour un ingénieur de maîtriser les outils de la modélisation mathématique et de la simulation numérique, notamment pour la résolution des équations aux dérivées partielles et des problèmes d’optimisation. Les domaines d'application peuvent être aussi divers que la physique, la mécanique des fluides, l’électromagnétisme, l'imagerie, le signal, la fiabilité, la finance, les assurances, les sciences du vivant, les sciences de l'environnement et la santé… Dans ce but, nous présentons dans ce cours différentes approches aussi bien déterministes que probabilistes.

L'objectif de ce cours est d'acquérir les outils nécessaires pour pouvoir, in fine, concevoir, analyser, mettre en œuvre et valider des modèles mathématiques et des solutions numériques pour des problèmes concrets d’ingénierie dans les domaines de l'industrie et des services (mécanique des fluides, aéronautique, environnement...) et pour les nouvelles applications du domaine de la santé, biologie et l'environnement.

1. Simulation et méthodes de Monte Carlo :  génération de v.a, méthode de rejet, échantillonnage préférentiel, méthode de réduction de variance;
2. Algorithmes stochastiques d'optimisation : recuit simulé, gradient stochastique, algorithmes génétiques;
3. Comparaison des méthodes d’optimisation : déterministe et aléatoire;
4. Mouvement brownien: définition, simulation, méthode de Cholesky, développement de Karhunen-Loeve, pont brownien, méthode incrémentale;
5. Discrétisation de l'équation de la chaleur/laplacien: méthodes déterministes ou probabilistes

1. Comprendre les méthodes de simulation de v.a. et savoir les mettre en oeuvre,
2. Appliquer la méthode de Monte-Carlo pour évaluer certaines grandeurs mathématiques et savoir mettre en oeuvre des techniques avancées permettant d'améliorer la qualité des résultats,
3. Comprendre et être capable d'appliquer les principaux algorithmes d'optimisation stochastiques, savoir choisir entre méthodes d'optimisation déterministe et stochastique,
4. Comprendre et savoir manipuler le mouvement brownien, savoir mettre en oeuvre des techniques de simulation du mouvement brownien,
5. Faire le lien entre l'équation de la chaleur et le mouvement brownien, comprendre la différence entre approches déterministe et probabiliste.

Les évaluations se font avec des comptes rendus de TP, des projets et des interrogations écrites.

1. Robert, C. P., Casella, G., & Casella, G. Introducing Monte Carlo Methods with R  (Vol. 18). New York: Springer, 2010.
2. Guimier, A. Modélisation d’algorithmes d’optimisation à stratégie aléatoire. Calcolo 23 (1986), 21–34.
3. Ycart, B. Modèles et Algorithmes Markoviens, volume 39 of Mathématiques et Applications. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002.
4. Gobet, E. Méthodes de Monte-Carlo et processus stochastiques : du linéaire au non linéaire. Ecole Polytechnqiue, 2013. 
5. Lord, G. J., Powell, C., & Shardlow, T. An Introduction to Computational Stochastic PDEs. Cambridge University Press 2014. 

• Marie Billaud-Friess (responsable du cours),
• Guillaume Chiavassa,
• Mitra Fouladirad,
• Christophe Pouet.